Francesco Spirito nasce a Napoli, da Vincenzo e Marianna Pansini, il 6 marzo 1885. Studente di medicina, si laurea con il massimo dei voti nel luglio del 1909 all'Università di Napoli e diventa nel 1907 'preparatore' presso il napoletano Istituto di Anatomia Chirurgica ed Operazioni, diretto dal Prof. Fabrizio Padula. Partecipa a concorsi per il ruolo di Assistente a Medicina, Chirurgia, Oculistica, Dermatologia, presso gli Ospedali Riuniti di Napoli e dal 1911 al 1913 presta servizio all'Ospedale S. Maria in Loreto a Napoli in qualità di assistente chirurgo. Dal 1911 al 1923 è anche interno e poi assistente effettivo presso la Clinica Ostetrica e Ginecologia della sua città.
Abilitato nel 1924 alla libera docenza di ostetricia e ginecologia, è nominato nel 1927, in seguito a concorso, direttore della Scuola Ostetrica di Novara.
Come professore straordinario di Clinica Ostetrica e Ginecologica, giunge a Siena nel 1928 quale direttore della Clinica Ostetrica dell'ateneo senese. Dal 1931 è promosso ordinario.
Presta la propria assistenza dal gennaio 1912 al giugno 1913 nella guerra libica, come maggiore medico di complemento e partecipa a quattro campagne durante la prima guerra mondiale. Grande Ufficiale della Corona d'Italia e Cavaliere Mauriziano, è decorato della medaglia di bronzo al valor militare, della medaglia al Merito della Sanità, della Croce di Guerra, della medaglia dell'Unità d'Italia e di quella di argento dell'O.N.M.I; in data 2 giugno 1956 gli viene conferita la prestigiosa medaglia d'oro e Diploma di I classe dei Benemeriti della Scuola della Cultura e dell'Arte.
Preside della Facoltà medica senese dal 1932 al 1934 e poi per l'a.a. 1938- 1939 e Presidente dal 1934 al 1944 e poi dal 1952 al 1960 dell'Accademia dei Fisiocritici di Siena, è Rettore dell'Università di Siena dal 1939 al 1943.
Fuori ruolo dal 1955, dal 1960 è collocato a riposo ed è sostituito nella direzione della Clinica dal Prof. Pompeo Spoto. A lui si deve l'istituzione della Scuola di Specializzazione in Ostetricia e Ginecologia.
Muore a Napoli il 4 dicembre 1962.
Autore di oltre 200 pubblicazioni a carattere prettamente sperimentale, tra le quali gli studi sullo stato della tiroide e di altri organi endocrini nella gravidanza, sui trapianti placentari, sui fibromiomi, sulla profilassi del cancro del collo dell'utero, sui trapianti ovarici, sulla coagulabilità del sangue placentare, fu sostenitore della vaccinazione locale intraparenchimale quale metodo di cura della infezione puerperale.